おぼえがき

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一次関数について

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1次関数について

 

1次関数とは、y=ax+b で表されるグラフのことです。

1次関数の式におけるaは傾きであり、bは切片です。

 

なので y=ax で表される比例のグラフはy=ax+0とも表すことができるので、比例のグラフは切片が0の1次関数だと言うこともできます。

 

 

〇1次関数のグラフの描き方

1次関数のグラフを描くには以下の2ステップを用います。

 

①まずY軸に切片(bの値)を取ります。
②次に①の点からX軸に傾き(aの値)を取ります。

 

以上です。

ちなみにaの値が分数(c/d)だった場合は、X軸方向にd、Y軸方向にcの値分移動します。
そしてaの値が整数(a)だった場合は、a=a/1なので、X軸方向に1、Y軸方向にaの値分移動します。

 

 

またy=ax+bのaとbが共に分数だった場合は、グラフを描くためには以下の3ステップを用います。

 

①まずxに整数を代入してyが整数になるパターンを探します(切片)。
②次に①で求めた値をグラフに取ります。
③最後に②の点からaの値をグラフに取ります(傾き)。

 

 

〇練習問題

問:グラフの傾きが5で点(1,3)を通る1次関数の式を求めよ。

y=ax+b なので、

3=(5/1)*1+b -> b=-2 -> y=5x-2

 


問:2点(1,2)と(4,3)を通る直線の方程式を求めよ。

(x,y)なので、

(1,2) . (4,3)  -> (4-1, 3-2) -> (3,1) -> a=1/3
2=(1/3)*1+b -> 2-1/3=b -> 6-1=3b -> b=5/3

答:y=(1/3)x+5/3

 

連立方程式で解を求める場合は ↓ のような感じになります。

2=a+b -> -a-b=-2
3=4a+b

3-2=4a-a+b-b -> 1=3a -> a=1/3
2=1/3+b -> 6=1+3b -> 3b=5 -> b=5/3
3=4/3+b -> 9=4+3b -> 5=3b -> b=5/3

答:y=(1/3)x+5/3

 


問:2点(3,1)と(-2,4)を通る直線の方程式を求めよ。

(x,y)なので、

(3,1) . (-2,4) -> (-5,3) -> a=-(3/5)
1=-(3/5)*3+b -> 5=-(3)*3+5b -> 5=-9+5b -> 14=5b -> b=14/5

答:y=-(3/5)x+14/5

 

 

〇交点

交点とは、複数の線が交わる点のことです。

つまり線aと線bの交点とは、線aも線bも通る点のことを意味します。

交点の問題は連立方程式で解を求めるといい感じらしいです。

 

問:2直線y=5x-9とy=-2x+12の交点の座標を求めよ

y=5x-9
y=-2x+12

5x-9=-2x+12 -> 7x=21 -> x=3
y=15-9 -> y=6
y=-6+12 -> y=6

答:交点の座標は(3,6)

 

 

〇動点の求め方

動点とはある法則性に従って決まった経路をスタート地点からゴール地点に向けて移動する点のことです。

 

たとえば四隅をそれぞれ点B、A、D、Cとする一辺が8cmの正方形があるとします。

この正方形の点Bは向かって左下、点Aは左上、点Dは右上、点Cは右下となっています。

 

この正方形を構成する直線を、点Bからスタートして点A、Dと通過して点Cに到達するように移動している動点Pがあるとします。

この動点Pの移動速度は2cm/secです。

 

この動点Pがx秒移動したあとの動点Pと正方形の点Bと点Cの3点が構成する三角形の面積y㎠を求めよ、という問題があったとします。

このような動点の問題は、以下のような考え方で解を求めていきます。

 

・この問題における動点Pの位置

動点Pは点Bから2xcm進んだ地点にいます。

 

・三角形の面積を求める式

y=底辺*高さ/2

 

・動点Pの位置関係を整理する

a:点Pが直線BA上にいるのは0~4秒まで(底辺8cm・高さ2xcm)。

なのでこの場合の三角形の面積は、

y=(8*2x)/2 -> y=8x㎠

となります。

 

b:点Pが直線AD上にいるのは4~8秒まで(底辺8cm・高さ8cm)。

なのでこの場合の三角形の面積は、

y=(8*8)/2 -> y=32㎠

となります。

 

c:点Pが直線DC上にいるのは8~12秒まで(底辺8cm・高さ8*3-2xcm)。

なのでこの場合の三角形の面積は、

y=(8(8*3-2x))/2 -> y=(192-16x)/2 -> y=-8x+96㎠

となります。

 

なのでこの問題の解は、上記3パターンの値(式?)となります。

 

 

以上です。