おぼえがき

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平方根について

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平方根について

 

平方根とは、2乗すると目的の値になる数のことです。

たとえば、平方根とは以下のような感じのものとなっています。

 

1の平方根 -> 1または-1
2の平方根 -> √2または√-2
3の平方根 -> √3または√-3
4の平方根 -> 2または-2
5の平方根 -> √5または√-5
6の平方根 -> √6または√-6
7の平方根 -> √7または√-7
8の平方根 -> √8または√-8
9の平方根 -> 3または-3

 

平方根はルートとも呼ばれます。

上記の例を見てもらえば分かるようにある数aの平方根は、その値を2乗するとある数aとなる数のことです。

なので平方根には正の数と負の数の2つが存在します。

 

その関係で、負の数の平方根というものは存在しません。

なぜなら、2乗してマイナスの値になる数はこの世に存在しないからです。

 

しかし-√4などの場合は別です。

4の平方根は√4であり2なわけですが、もしこれが-√4の場合は-√2^2なわけですから√を外すと-2となります。

2乗して負の数になる値は存在しませんが、-1*√nの値は根号(√)を外すとどのような値でも負の数となってしまいます。

 

また、1^2=1や2^2=4という分かりやすい数である平方根はいいのですが、1.4142...^2=2や2.2360...^2=5のようなキリの悪い値が平方根となる場合は、√(根号)という記号を使って平方根を表します。

 

つまり、2の平方根は1.4142...ではなくて√2と書きます。

ちなみに、0の平方根は0です。

0^2=0ですからね。

 

 

〇分数の平方根

分数の平方根の計算は、以下のような形になります。

 

例①:-√9/4 -> -1*√{(3*3)/(2*2)} -> -3/2

例②:√9/4 -> √{(3*3)/(2*2)} -> 3/2

 

 

〇実数(浮動小数点)の平方根

実数の平方根の計算は、以下のような形になります。

 

例①:-√0.49 -> -1*√(49/100) -> -7/10

例②:√0.49 -> √(49/100) -> 7/10

 

 

素因数分解について

素因数分解とは、素数だけの乗算で式を表すことです。

素因数分解は対象となる数を「右辺の値が素数になる」まで「素数で除算」し続ければOKです。

 

例①:21 -> 21/3=7 -> 21=3*7
例②:60 -> 60/2=30 -> 30/2=15 -> 15/3=5 -> 60=2^2*3*5

 

 

素数とは

素数とは、1か自分の値でしか割り切れない数のことです。

なお1だけは、上記の素数の条件を満たしていますが素数ではありません。

 

例:2・3・5・7・11・13・17・19など

 

 

素因数分解を使ったルートの変形

ルートの数は素因数分解を使うことで可能な範囲で大きくしたり小さくしたりと変形させることができます。

 

例①:√12 -> √2*2*3 -> 2√3
例②:√450 -> √150*3 -> √50*3*3 -> √25*3*3*2 -> √5*3*3*2*5 -> 15√2
例③:5√7 -> √7*5*5 -> √175

 

上記のように、値としては変形前も変形後も=の関係ですが、ルート内の数は最小値にしたり最大値と変形させることができます。

 

 

〇ルートの乗算と除算

乗算および除算の計算式の中にルートの値が含まれる場合は、それらの値はルートの外同士、ルートの中同士でそれぞれ別に計算していきます。

 

例①:√2*√3=√6
例②:√5*-√7=-√35
例③:-2√3*5√7=-10√21
例④:√18*√10=(√2*3*3)*(√2*5) -> 3*2√5 -> 6√5
例⑤:√15/√3=√5
例⑥:(√12)/6=(√2*2*3)/6 -> (2√3)/6 -> (√3)/3

 

例④のように普通に乗算すると大きな値になる計算式の場合は、乗算する前にそれぞれの値を先に素因数分解してから乗算すると、結果として計算の手間を減って楽をすることができます。

 

 

〇分母の有理化

分母の有理化とは、分母の値から根号(√)を外す作業のことです。

根号は値を2乗することで外れますので、それを利用して分母を有理化していきます。

 

例①:√2/√3 = (√2*√3)/√3^2 -> √6/3
例②:2/√18 = 2/√(2*3*3) -> 2/(3√2) -> (2√2)/6 -> √2/3

 

 

〇ルートの加算と減算

値が平方根の式は以下のように解を求めていきます。


例①:3√5+4√5 = 7√5
例②:√2+2√3+4√2-3√3 = 5√2-√3
例③:5√12-3√75+2√27 = 5√2*2*3-3√5*5*3+2√3*3*3 -> 10√3-15√3+6√3 -> √3
例④:2√3/3√2+4/√6 = {(2√3)*√2}/{(3√2)*√2}+{(4*√6)/(√6*√6)} -> (2√6/6)+{(4√6)/6)} -> (6√6)/6 -> √6

 

上記の例③のようにルートの値を素因数分解して数がルートの外に出た場合は、すでにそのルートの頭に掛かっている数との乗算が行なわれます。

また上記の例④のようなルートの値を含む分数の加算や減算では、それぞれの分母を有理化してから通分して解を求めるのが正しい解法となります。

 

 

以上です。