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二次方程式について

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二次方程式について

 

二次方程式について。

 

二次方程式とは次数が2の方程式のことです。

もうちょっと噛み砕いて言うと、二次方程式とはxやyといった文字が2つ含まれる方程式のことです。

 

 

平方根で解く二次方程式

二次方程式の問題を解くには平方根の概念を理解しておくと便利です。

また二次方程式の解は基本的に正の数と負の数の2つが出てくるので、解の数値の先頭には±の記号を付ける必要があります。

 

例①:x^2=25 -> x=±5
例②:2x^2-36=0 -> 2x^2=36 -> x^2=18 -> x=√18 -> x=±3√2
例③:9x^2-8=0 -> x^2=8/9 -> x=√(8/9) -> x=√{(2*2*2)/(3*3)} -> x=±(2√2)/3
例④:(x-7)^2=9 -> x-7=√9 -> x=±3+7 -> x=10, 4
例⑤:(x-3)^2-5=0 -> x-3=√5 -> x=3±√5

 

例④は因数分解をしてしまいたくなる形の式ですが、(x-7)^2を因数分解してしまったらこの式の解である±10という値を求めるとこはできません。

また±3+7という式の解には3+7=10と-3+7=4の2パターンがありますので、例④の解はx=10,4となります。

数学的にはカンマ記号は「左辺または右辺」という意味となっています。

 

例⑤の解はx=3±√5でOKです。

x=3+√5, 3-√5と表記する必要はありません。

 

 

因数分解で解く二次方程式

平方根の概念を利用して解けないパターンの2次方程式は、因数分解の概念を利用して解いていきます。

 

因数分解を利用する場合は、式を〇〇*△△=0の形になるようにします。

そして〇〇が0になる数と△△が0になる数をそれぞれ求めれば、それすなわち二次方程式の解となります。

 

例①:x^2-3x=0 -> x(x-3)=0 -> 0(0-3)=0 or 3(3-3)=0 x=0, 3
例②:x^2-3x-10=0 -> (x+2)(x-5)=0 -> (-2+2)(-2-5)=0 or (5+2)(5-5)=0 -> x=5, -2
例③:x^2-14x+49=0 -> (x-7)^2=0 -> (7-7)^2=0 -> x=7

 

例③の解は厳密にはx=7, 7となるのですがこれだと重解になってしまうので、x=7という表記がより正しい回答となります。

 

 

〇解の公式で解く二次方程式

上記のように平方根因数分解を利用して解くことができない二次方程式では、解の公式を使って解を求めていきます。

 

・解の公式

ax^2+bx+c=0 -> x={-b±√(b^2-4ac)}/2a

 

例①:3x^2+9x+5=0 -> x={-9±√(81-60)}/6 -> x=(-9+√21)/6, (-9-√21)/6
例②:6x^2-5x+1=0 -> x={5±√(25-24)}/12 -> x=(5±√1)/12  -> x=6/12, 4/12 -> x=1/2, 1/3

 

 

二次方程式の文章問題

問1:連続する2つの自然数の積がこれと同じ2つの自然数の和よりも5大きくなるとき、これら2つの自然数を求めよ。

 

ステップ①:条件の確認 → 積=和+5
ステップ②:連続する2つの自然数を定義 → x, x+1
ステップ③:条件を考慮しつつ方程式を作る → x(x+1)=x+(x+1)+5
ステップ④:方程式を解く → x(x+1)=x+(x+1)+5 -> x^2+x=2x+6 -> x^2-x-6=0 -> (x+2)(x-3)=0 -> x=-2, 3
ステップ⑤:条件の確認 → ②の条件的にx=-2は除外されるのでx=3, 4となる(自然数は1以上の正の整数)

 

 

問2:縦10m横20mの長方形の土地がある。そしてその土地の中に幅が同じ道をスエーデンの国旗のように作った。そして残りの土地を畑にしたところ、畑の面積は171㎡となった。この条件での道の幅を求めよ。

 

道の幅  =xm
土地の面積=10*20=200㎡
道の面積 =x*y=29㎡
畑の面積 =(10-x)(20-x)=171㎡(縦10-xm・横20-xm)

 

(10-x)(20-x)=171 -> x^2-30x+29=0 -> (x-29)(x-1)=0 -> x=29, 1 -> x<10なのでx=29は除外 -> x=1

(10-1)*(20-1)=171なのでx=1で確定。

ちなみに問題の解とはぜんぜん関係ないが、道の長さは1*y=29なので29mとなる。

 

 

以上です。