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二次関数について

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二次関数について

 

二次関数とは、次数が2の多項式によってあらわされる関数のことです。

二次関数の問題で「yはxの2乗に比例する」という条件が記載されている場合は、y=ax^2という等式が成り立ちます。

 

問①:yはx^2に比例しx=3のときにy=-18となる。このときのyをxの式で表せ。

y=ax^2 -> -18=a*3^2 -> -18=9a -> -2=a -> y=-2x^2

 

問②:問①の条件下においてx=-5のときのyの値を求めよ。

y=-2*(-5^2) -> y=-50

 

 

〇2次関数のグラフの特徴

2次関数のグラフは「頂点」と「放物線」という2つの特徴を持っています。

 

・頂点

2次関数のグラフは原点を通ります。

2次関数のグラフでは原点のことを頂点とも言います。

 

・放物線

2次関数のグラフはy軸に対して対称な線になります。

このようなy軸に対して対称な線のことを放物線とも言います。

 

・その他の特徴

y=ax^2の係数aが正の数だった場合は、yの値は必ず正の数になります。

逆にy=ax^2の係数aが負の数だった場合は、yの値は必ず負の数になる。

 

また係数aの値が大きくなるほどに、グラフの角度は鋭角になる傾向があります。

逆にaの値が小さくなるほどに、グラフの角度は鈍角になる傾向があります。

 

 

〇y=ax^2の変域について

変域とは次数の値がどこからどこまで変化するかという範囲指定のことです。

変域の問題を解くときは、頭のなかで数字をこねくり回すよりも紙にグラフ図を描いたほうが圧倒的に楽ができます。

 

例①:y=2x^2のグラフにおいてxの変域が1≦x≦3である場合のyの変域は?

y=2*1^2 -> y=2
y=2*3^2 -> y=18

なのでこの条件におけるyの変域は2≦y≦18である。


例②:y=2x^2のグラフにおいてxの変域が-2≦x≦1である場合のyの変域は?

y=2*-2^2 -> y=8
y=2*1^2 -> y=2
xが-2から1になるまでの間に原点を通過するのでyの最小値は0

なのでこの条件におけるyの変域は0≦y≦8である。


例③:y=ax^2のグラフにおいてxの変域が-1≦x≦2でありyの変域が-12≦x≦0である場合のaの値は?

y軸の最小値は-12である。
y軸が-12のときのx軸の値は2である。

y軸の最大値は原点0である。
y軸が0のときのx軸の値は当然0である。

2^2=4を-12にするには乗算値-3が必要なのでaの値は-3である。

 

 

〇変化の割合について

変化の割合とは、y=ax^2の式における「yの増加量/xの増加量」のことです。
変化の割合の値はグラフに描くと、傾きの直線値と同じになります。

 

例①:y=2x^2でxの値が1から4まで変化するときの変化の割合を求めよ。

1≦x≦4

y=2*1^2 -> y=2
y=2*4^2 -> y=32

2≦y≦32

xの増加量=4-1=3
yの増加量=32-2=30

変化の割合=30/3=10

 

例②:y=2x^2でxの値が-2から0まで変化するときの変化の割合を求めよ。

-2≦x≦0

y=2*-2^2 -> y=8
y=2*0^2 -> y=0

0≦y≦8(xが-2のときに8・xが0のときに0)

xの増加量=0+2=2
yの増加量=0-8=-8

変化の割合=-8/2=-4

 

 

〇放物線と直線の問題

二次関数であるy=ax^2の放物線上にある点Aと点Bをそれぞれ通る直線の式(一次関数y=ax+b)に関しての問題についてです。

 

このての問題では、放物線の式(y=ax^2)を解とする場合は通る点が1つ分かればその解を求めることができます。

しかし直線の式(y=ax+b)を解とする問題の場合は、通る点が2つ分からなければ解を求めることはできません。

 

例①:点A(-2,b)と点B(4,8)を通る直線の式(y=cx+d)を求めよ。

y=ax^2 -> 8=a*4^2 -> 8=0.5*4^2 -> a=0.5
b=0.5*-2^2 -> b=2
点Aの座標=(-2,2)

xの増加量=4-(-2)=6
yの増加量=8-2=6
c=6/6=1

y=1*x+d -> 8=1*4+4
y=1*x+d -> 2=1*-2+4
d=4

y=cx+d -> y=1x+4 -> y=x+4

解:y=x+4


例②:点A(1,b)と点B(c,d)を通る直線の式がy=x-6のときの放物線の式(y=ax^2)を求めよ。

y=ex+f -> y=x-6 -> y=1-6 ->y=-5
点A(1,-5)

y=ax^2 -> -5=a*1^2 -> a=-5

解:y=-5x^2

 

 

以上です。